알고리즘 - 최소 신장 트리(Minimum Spanning Tree), 크루스칼(Kruskal), 프림(Prim) Python 코드

최소 신장 트리 (MST)

MST : Minimum Spanning Tree 

간선에 가중치를 고려하여 최소 비용의 Spanning Tree를 선택하는 것

 

 

 

신장 트리 (Spanning Tree)

그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리

그래프의 최소 연결 부분 그래프 이다. 최소 연결이란, 간선의 수가 가장 적은 것이다.  

 

 

Spanning Tree의 특징 

- DFS, BFS을 이용하여 그래프에서 신장 트리를 찾을 수 있다
- 하나의 그래프에는 많은 신장 트리가 존재할 수 있다.
- Spanning Tree는 트리의 특수한 형태이므로 모든 정점들이 연결 되어 있어야 하고 사이클을 포함해서는 안된다.

 

MST (Minimum Spanning Tree)

그래프에서 모든 정점을 연결하되, 사이클이 존재하지 않고 간선의 가중치 합이 최소인 트리

 

🌟 MST의 특징

- 간선의 가중치의 합이 최소여야 한다.
- n개의 정점을 가지는 그래프에 대해 반드시 (n-1)개의 간선만을 사용해야 한다.
- 사이클이 포함되어서는 안된다.

MST 구현 방법

1. Kruskal's Algorithm

greedy를 이용하여 간선을 할당한 그래프의 모든 정점을 최소 비용으로 연결해 나가는 것

 

[과정]
1. 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.
2. 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.
     - 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
     - 사이클을 형성하는 간선을 제외한다.
3. 해당 간선을 현재의 MST(최소 비용 신장 트리)의 집합에 추가한다.

def find(x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find(parent[x])
    return parent[x]

def union(a, b):
    a = find(a)
    b = find(b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  
edges = []
result = 0

for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    edges.append((cost, a, b))

edges.sort()

for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    if find(a) != find(b):
        union(a, b)
        result += cost

print(result)

 

 

2. Prim Algorithm 

시작 정점에서 출발하여 신장 트리 집합을 단계적으로 확장해 나가는 것

 

[과정]
1. 시작 단계에서는 시작 정점만이 MST(최소 비용 신장 트리) 집합에 포함된다.
2. 앞 단계에서 만들어진 MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다.
     -즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
3. 위의 과정을 트리가 (N-1)개의 간선을 가질 때까지 반복한다.

INF = 9999 # 가장 큰 가중치(무한대)
# 현재 트리에 인접한 정점들 중에서 가장 가까운 정점을 찾는 함수
def getMinVertex(dist, selected):
    minv = 0
    mindist = INF
    for v in range(len(dist)):
        if not selected[v] and dist[v] < mindist:
            mindist = dist[v]
            minv = v
    return minv

# Prim의 최소 비용 신장 트리 프로그램
def MSTPrim(vertex, adj):
    vsize = len(vertex)
    dist = [INF] * vsize
    selected = [False] * vsize
    dist[0] = 0

    for i in range(vsize):
        u = getMinVertex(dist, selected)
        selected[u] = True
        print(vertex[u], end=' ')
        
        for v in range(vsize):
            if adj[u][v] != None:
                if selected[v] == False and adj[u][v] < dist[v]:
                    dist[v] = adj[u][v] 
    print()

# vertex : 정점의 정보
# weight : 가중치 정보